圏論・層論およびGrothendieck位相における超限帰納法と超限構成の理論と応用

(1 $\implies$ 2) は単射的対象の定義から明らかである。

(2 $\implies$ 1) を示す。任意のモノ射 $i : A \hookrightarrow B$ と射 $f : A \to E$ が与えられたとする。対 $(A', f')$ の集合 $\mathcal{P}$ を、$A \subset A' \subset B$ なる部分対象 $A'$ と $f$ の延長 $f' : A' \to E$ の組全体とする。$\mathcal{P}$ に包含関係による半順序を定めると、Zornの補題により極大元 $(M, g)$ が存在する。

$M = B$ であることを背理法で示す。仮に $M \subsetneq B$ とすると、$M$ に含まれない $B$ の要素に対応して、ある射 $h : G \to B$ であってその像が $M$ に含まれないものが存在する（$G$ が生成子であるため）。

引き戻し（pullback）図式を構成する：

$$ \begin{array}{ccc} U & \hookrightarrow & G \\ \downarrow & & \downarrow{\scriptstyle h} \\ M & \hookrightarrow & B \end{array} $$

ここで $U = h^{-1}(M) \hookrightarrow G$ は $G$ の部分対象である。引き戻しの性質により、合成 $U \to M \xrightarrow{g} E$ が定義される。仮定 (2) より、この射は $\tilde{g} : G \to E$ に延長される。

押し出し（pushout）図式を用いて $M' = M + h(G) \subset B$ 上の射 $g' : M' \to E$ を定義すると、これは $g$ の厳密な延長となり $(M, g)$ の極大性に矛盾する。したがって $M = B$ であり、$E$ は単射的である。

ステップ 1：正則基数の選定
$\mathcal{A}$ の生成子を $G$ とする。$G$ の部分対象全体の集合 $\mathcal{S}(G)$ の濃度を $|\mathcal{S}(G)|$ とする。基数 $|\mathcal{S}(G)|$ よりも厳密に大きい正則共終数（regular cofinality）をもつ正則無限基数 $\kappa$ を一つ固定する（例えば $\kappa = |\mathcal{S}(G)|^+$）。

ステップ 2：超限押し出し列 $(M_\alpha)_{\alpha \le \kappa}$ の超限帰納的構成
与えられた任意の対象 $M \in \mathcal{A}$ に対して、順序数 $\alpha \le \kappa$ に関する超限帰納法により対象の超限列 $(M_\alpha)_{\alpha \le \kappa}$ およびモノ射の族 $(j_{\alpha, \beta} : M_\alpha \hookrightarrow M_\beta)_{\alpha \le \beta}$ を構成する。

• 基底段階 ($\alpha = 0$)： $$ M_0 = M $$ とする。
• 後続順序数段階 ($\alpha \to \alpha + 1$)： $M_\alpha$ が構成されているとする。集合 $S_\alpha$ を、$G$ の部分対象 $U \hookrightarrow G$ と射 $f : U \to M_\alpha$ の組 $s = (U, f)$ 全体の集合とする： $$ S_\alpha = \{ (U, f) \mid U \in \mathcal{S}(G), \, f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(U, M_\alpha) \} $$ 直和対象 $\bigoplus_{s \in S_\alpha} U$ および $\bigoplus_{s \in S_\alpha} G$ を考え、包含射の直和 $\bigoplus_{s} i_s : \bigoplus_{s} U \hookrightarrow \bigoplus_{s} G$ と、射の和 $\sum_s f_s : \bigoplus_{s} U \to M_\alpha$ による押し出し（pushout）図式を形成する： $$ \begin{array}{ccc} \bigoplus_{s \in S_\alpha} U & \xrightarrow{\ \bigoplus i_s\ } & \bigoplus_{s \in S_\alpha} G \\ \downarrow{\scriptstyle \sum f_s} & & \downarrow \\ M_\alpha & \xrightarrow{\ j_{\alpha, \alpha+1}\ } & M_{\alpha+1} \end{array} $$ アーベル圏において、モノ射の直和はモノ射であり（AB5条件による）、モノ射の押し出しによる引き戻し・押し出し像も再びモノ射となる。したがって、構造射 $j_{\alpha, \alpha+1} : M_\alpha \hookrightarrow M_{\alpha+1}$ はモノ射である。
• 極限順序数段階 ($\gamma \le \kappa$ が極限順序数の場合)： $\gamma$ 未満のすべての $\alpha < \gamma$ に対する有向余極限として $M_\gamma$ を定義する： $$ M_\gamma = \varinjlim_{\alpha < \gamma} M_\alpha $$ AB5 条件により、有向余極限は完全であるため、各標準射 $j_{\alpha, \gamma} : M_\alpha \to M_\gamma$ もすべてモノ射である。

ステップ 3：極限対象 $M_\kappa$ の単射性の検証
構成された超限列の極端元 $M_\kappa = \varinjlim_{\alpha < \kappa} M_\alpha$ が Baer の判定法（補題 2.6）を満たすことを示す。

$G$ の任意の部分対象 $U \hookrightarrow G$ および任意の射 $g : U \to M_\kappa$ をとる。 $G$（したがってその部分対象 $U$）は小生成子に起因して $\kappa$-小対象的性質をもつ。具体的には、$\kappa > |\mathcal{S}(G)|$ かつ $\kappa$ が正則基数であることから、任意の射 $g : U \to M_\kappa = \varinjlim_{\alpha < \kappa} M_\alpha$ の像は、ある $\alpha_0 < \kappa$ における $M_{\alpha_0}$ へ分解（factor）する。すなわち、ある射 $g_0 : U \to M_{\alpha_0}$ が存在して $$ g = j_{\alpha_0, \kappa} \circ g_0 $$ と表される。

この組 $s = (U, g_0)$ は後続段階 $\alpha_0 + 1$ の構成における集合 $S_{\alpha_0}$ の元である。押し出し図式の可換性より、射 $g_0 : U \to M_{\alpha_0}$ は $M_{\alpha_0+1}$ への合成射において $G$ からの射 $h : G \to M_{\alpha_0+1}$ へと延長される： $$ h \circ i_U = j_{\alpha_0, \alpha_0+1} \circ g_0 $$ この射 $h$ とモノ射 $j_{\alpha_0+1, \kappa} : M_{\alpha_0+1} \hookrightarrow M_\kappa$ を合成して得られる射 $$ \tilde{g} = j_{\alpha_0+1, \kappa} \circ h : G \to M_\kappa $$ を考えると、 $$ \tilde{g} \circ i_U = j_{\alpha_0+1, \kappa} \circ h \circ i_U = j_{\alpha_0+1, \kappa} \circ j_{\alpha_0, \alpha_0+1} \circ g_0 = j_{\alpha_0, \kappa} \circ g_0 = g $$ となり、$\tilde{g}$ は $g$ の $G$ 全体への延長である。

補題 2.6（Baer の判定法）により、$M_\kappa$ は単射的対象である。また基底射 $M = M_0 \hookrightarrow M_\kappa$ はモノ射の合成（および有向余極限）としてモノ射である。したがって $\mathcal{A}$ は十分に単射的な対象を持つ。

超限順序数 $\alpha \le \kappa$ について対象 $Z_\alpha$ と射 $p_{\alpha, \beta} : Z_\alpha \to Z_\beta$ ($\alpha \le \beta$) および $q_\alpha : Z_\alpha \to Y$ を超限帰納法により構成する。

• 初期段階 ($\alpha = 0$)： $Z_0 = X$ とおき、$q_0 = f$ とする。
• 後続段階 ($\alpha \to \alpha + 1$)： $Z_\alpha$ および $q_\alpha : Z_\alpha \to Y$ が構成されているとする。集合 $S_\alpha$ を、射 $i : A \to B \in I$ および可換正方形をなす対 $(u, v)$（ただし $u : A \to Z_\alpha$, $v : B \to Y$ であり $q_\alpha \circ u = v \circ i$）全体の集合とする。 $Z_{\alpha+1}$ を以下の押し出しにより定義する： $$ \begin{array}{ccc} \bigoplus_{(i, u, v) \in S_\alpha} A & \xrightarrow{\ \bigoplus i\ } & \bigoplus_{(i, u, v) \in S_\alpha} B \\ \downarrow{\scriptstyle \bigoplus u} & & \downarrow \\ Z_\alpha & \xrightarrow{\ p_{\alpha, \alpha+1}\ } & Z_{\alpha+1} \end{array} $$ 押し出しの普遍性により、射 $q_{\alpha+1} : Z_{\alpha+1} \to Y$ であって $q_{\alpha+1} \circ p_{\alpha, \alpha+1} = q_\alpha$ かつ各 $(i, u, v) \in S_\alpha$ に対して右側の因子からの像が $v$ と一致するものが一意に存在する。
• 極限段階 ($\gamma \le \kappa$ が極限順序数の場合)： $Z_\gamma = \varinjlim_{\alpha < \gamma} Z_\alpha$ と定め、$q_\gamma : Z_\gamma \to Y$ を余極限の普遍性から誘導する。

$Z = Z_\kappa$ とおき、$p = p_{0, \kappa} : X \to Z$, $q = q_\kappa : Z \to Y$ と定める。構築により $f = q \circ p$ であり、$p$ は $I$ の射の押し出しの超限合成である。

$q \in I^\perp$ であることを示す。任意の $i : A \to B \in I$ と可換正方形

$$ \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\ u\ } & Z_\kappa \\ \downarrow{\scriptstyle i} & & \downarrow{\scriptstyle q} \\ B & \xrightarrow{\ v\ } & Y \end{array} $$

を考える。仮定より $A$ は $\kappa$-小対象であるから、射 $u : A \to Z_\kappa = \varinjlim_{\alpha < \kappa} Z_\alpha$ はある $\alpha < \kappa$ に対する射 $u_\alpha : A \to Z_\alpha$ を経由する。 正方形の可換性より、$q_\alpha \circ u_\alpha = v \circ i$ とみなしてよい。 すると、三つ組 $(i, u_\alpha, v)$ は $S_\alpha$ の元となる。 $Z_{\alpha+1}$ の押し出しの構成により、射 $h_{\alpha+1} : B \to Z_{\alpha+1}$ が存在して、$h_{\alpha+1} \circ i = p_{\alpha, \alpha+1} \circ u_\alpha$ かつ $q_{\alpha+1} \circ h_{\alpha+1} = v$ を満たす。 この $h_{\alpha+1}$ と標準的射 $p_{\alpha+1, \kappa} : Z_{\alpha+1} \to Z_\kappa$ を合成して得られる射 $h = p_{\alpha+1, \kappa} \circ h_{\alpha+1} : B \to Z_\kappa$ をとると、 $$ h \circ i = u \quad \text{かつ} \quad q \circ h = v $$ が成り立つ。したがって $q \in I^\perp$ が証明された。

各対象 $X \in \mathcal{C}$ に対する被覆ふるい $S \in J(X)$ の全体の集合を $J_{\mathrm{all}} = \bigcup_{X \in \mathcal{C}} J(X)$ とする。$\kappa$ を $J_{\mathrm{all}}$ の任意の元の要素数および $J(X)$ の濃度より真に大きい正則基数とする。

超限列 $(F^{(\alpha)})_{\alpha \le \kappa}$ は正準射 $\eta_{F^{(\alpha)}} : F^{(\alpha)} \to F^{(\alpha+1)}$ による余極限系をなす。 $\kappa$ が十分大きいことから、任意の $X \in \mathcal{C}$ および任意の $S \in J(X)$ について、関手 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(S, -)$ は $\kappa$-有向余極限と可換になる。すなわち、 $$ \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}\left( S, \varinjlim_{\alpha < \kappa} F^{(\alpha)} \right) \cong \varinjlim_{\alpha < \kappa} \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(S, F^{(\alpha)}) $$ が成立する。したがって、

$$ \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(S, F^{(\kappa)}) \cong \varinjlim_{\alpha < \kappa} \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(S, F^{(\alpha)}) $$ $$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cong \varinjlim_{\alpha < \kappa} (F^{(\alpha)})^+(X) $$ $$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cong \varinjlim_{\alpha < \kappa} F^{(\alpha+1)}(X) \cong F^{(\kappa)}(X) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(y(X), F^{(\kappa)}) $$

が成り立つ。これは $F^{(\kappa)}$ が $J$ に関する層の定義条件を満たすことを意味する。 また、各段階での射 $F \to F^{(\kappa)}$ が普遍性を満たすことは、層 $G$ に対する $\mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(F^{(\alpha)}, G) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(F, G)$ を超限帰納法で示すことにより従う。

Freyd の随伴関手定理により、小極限を保存する関手 $G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が左随伴を持つためには、任意の $D \in \mathcal{D}$ に対して解集合条件 (solution set condition) が満たされることを示せば十分である。

$D \in \mathcal{D}$ を固定する。各 $K_0 \in K$ に対し、$\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(D, G(K_0))$ は小集合である。積対象 $$ P = \prod_{K_0 \in K} \prod_{\sigma \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(D, G(K_0))} K_0 $$ を考える。$K$ は小集合であり、各 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(D, G(K_0))$ も小集合であるため、この積は小積であり、$\mathcal{C}$ の小完備性から $P \in \mathcal{C}$ が存在する。 $\mathcal{C}$ は余well-poweredであるため、$P$ の商対象全体の代表系を $S_D = \mathcal{Q}(P)$ とおくと、$S_D$ は小集合である。

$S_D$ が解集合条件を満たすことを示す。任意の $C \in \mathcal{C}$ および射 $f : D \to G(C)$ をとる。 各 $K_0 \in K$ と $h \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(C, K_0)$ に対し、$G(h) \circ f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(D, G(K_0))$ である。 積の普遍性により、射 $e : C \to P$ であって、$(K_0, G(h) \circ f)$ 成分への射影 $\pi_{K_0, G(h) \circ f} : P \to K_0$ との合成が $\pi_{K_0, G(h) \circ f} \circ e = h$ となるものが一意に存在する。

$\mathcal{C}$ は小完備かつ余well-poweredであるため、任意の射はエピ射とモノ射の合成に分解できる。$e$ のエピ・モノ分解を $$ C \xrightarrow{\ p\ } Q \xrightarrow{\ m\ } P $$ （$p$ はエピ射、$m$ はモノ射）とする。$Q$ は $P$ の商対象であるから、$Q \in S_D$ である。

普遍射 $d : D \to G(P)$ を、各成分 $(K_0, \sigma)$ への射影の $G$ による像 $G(\pi_{K_0, \sigma}) : G(P) \to G(K_0)$ との合成が $\sigma : D \to G(K_0)$ に一致する唯一の射として定める。 $K$ が余生成子集合であることと $G$ が等化子および小積を保存することから、$f : D \to G(C)$ は $G(p) : G(C) \to G(Q)$ を経由して $Q \in S_D$ への射に分解する。 したがって、小集合 $S_D$ は解集合条件を満たし、$G$ は左随伴関手 $F$ を持つ。

$\mathcal{C}$ が局所 $\lambda_0$-可提示であるとする。$W$ は小集合であるため、ある正則基数 $\lambda \ge \lambda_0$ が存在して、$W$ に含まれるすべての射の始域および終域は $\lambda$-可提示対象となる。

各対象 $X \in \mathcal{C}$ に対し、超限帰納法により順序数 $\alpha \le \lambda$ に添え字づけられた超限列 $(X_\alpha)_{\alpha \le \lambda}$ を構成する。

• 初期段階 ($\alpha = 0$)： $X_0 = X$ とおく。
• 後続段階 ($\alpha \to \alpha + 1$)： $X_\alpha$ が構成されているとする。集合 $S_\alpha$ を、射 $w : A \to B \in W$ および射 $f : A \to X_\alpha$ の対 $(w, f)$ 全体の集合とする。 $X_{\alpha+1}$ を以下の押し出し (pushout) により定義する： $$ \begin{array}{ccc} \bigoplus_{(w, f) \in S_\alpha} A & \xrightarrow{\ \bigoplus w\ } & \bigoplus_{(w, f) \in S_\alpha} B \\ \downarrow{\scriptstyle \bigoplus f} & & \downarrow \\ X_\alpha & \xrightarrow{\ j_\alpha\ } & X_{\alpha+1} \end{array} $$
• 極限段階 ($\gamma \le \lambda$ が極限順序数の場合)： $X_\gamma = \varinjlim_{\alpha < \gamma} X_\alpha$ とする。

$L(X) = X_\lambda$ と定める。 $L(X)$ が $W$-局所的であることを示す。 任意の $w : A \to B \in W$ と射 $f : A \to X_\lambda = \varinjlim_{\alpha < \lambda} X_\alpha$ をとる。 $A$ は $\lambda$-可提示対象であるため、射 $f$ はある $\alpha < \lambda$ における射 $f_\alpha : A \to X_\alpha$ を経由する。 後続段階の押し出しの構成により、合成 $j_\alpha \circ f_\alpha : A \to X_{\alpha+1}$ は射 $g_{\alpha+1} : B \to X_{\alpha+1}$ へ拡張される。 標準的射 $X_{\alpha+1} \to X_\lambda$ との合成 $g : B \to X_\lambda$ をとると $g \circ w = f$ が成り立つ。 核対に対する同様の超限反復押し出しにより単射性も確保されるため、$w^*$ は全単射となる。 したがって $X_\lambda \in \mathcal{C}_W$ であり、$L : \mathcal{C} \to \mathcal{C}_W$ は左随伴関手を与える。

極端不連結空間 $S$ が $\mathrm{CHaus}$ における射影的対象であるという性質により、$\mathrm{ExtrDisc}$ 上の前層 $F$ が層であるための必要十分条件は、有限直積を保存すること、および任意の極端不連結空間の有限被覆に対して層の条件を満たすことに帰着される。

任意の位相空間 $X$ に対し、対応する凝縮集合 $\underline{X}(S) = \mathcal{C}(S, X)$ を考える。 完備化された (completed) 凝縮代数や凝縮アーベル群の導来圏における射の計算において、対象を基数 $\kappa$ に基づく超限帰納法により $$ M = \varprojlim_{\alpha < \kappa} M_\alpha $$ のような超限射影的極限として表示することで、高次 Ext 群やコホモロジーの消滅定理が超限有向余極限と超限極限の可換性を通じて証明される。

(必要性) 層の圏 $\mathrm{Sh}(\mathcal{C}, J)$ が条件 1–6 を満たすことは標準的である。

(十分性) 条件 1–6 を満たす $\mathcal{E}$ に対し、小サイト $(\mathcal{C}, J)$ を構成して $\mathcal{E} \cong \mathrm{Sh}(\mathcal{C}, J)$ となることを示す。

小生成子集合 $\mathcal{S}$ から生成されるフル部分圏を $\mathcal{C} \subset \mathcal{E}$ とする。$\mathcal{C}$ は小圏である。 $\mathcal{C}$ 上の Grothendieck 位相 $J$ を次のように定める：$X \in \mathcal{C}$ 上のふるい $S \subset y(X)$ が $S \in J(X)$ であるとは、$S$ に属する射の像の余極限 $U = \varinjlim_{(Y \to X) \in S} Y \to X$ が $\mathcal{E}$ においてエピ射となることである。

関手 $F : \mathcal{E} \to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ を $F(E)(X) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{E}}(X, E)$ ($X \in \mathcal{C}, E \in \mathcal{E}$) により定める。

ステップ 1： $\mathcal{S}$ が生成子集合であることと、$\mathcal{E}$ において余極限が普遍的かつ同値関係が実効的であることから、任意の $E \in \mathcal{E}$ に対して $F(E)$ は $J$ に関する層となる。すなわち $F$ は関手 $F : \mathcal{E} \to \mathrm{Sh}(\mathcal{C}, J)$ を誘導する。

ステップ 2（充満忠実性）： 任意の $E \in \mathcal{E}$ に対し、$\mathcal{S}$ の元を超限列として組み合わせることで $E$ を $\mathcal{C}$ の元の余極限として表示する。 正則基数 $\kappa$ を十分大きくとり、超限順序数 $\alpha < \kappa$ について $\mathcal{S}$ の元の直和および押し出しを超限反復構成する。 まず、$\mathcal{S}$ の元の直和からのエピ射 $E_0 = \bigoplus_{j \in J_0} S_j \to E$ ($S_j \in \mathcal{S}$) をとる。 核対 $R_0 = E_0 \times_E E_0$ を作り、$R_0$ も $\mathcal{S}$ の元の直和からのエピ射 $R_0' = \bigoplus_{k \in J_0'} S_k \to R_0$ で覆う。 同値関係が実効的であることから、$E$ は $R_0' \rightrightarrows E_0$ の余等化子 (coequalizer) として表される。

ステップ 3（本質的全射性）： 任意の層 $G \in \mathrm{Sh}(\mathcal{C}, J)$ に対し、$G$ は $\mathcal{C}$ の米田埋め込み像 $y(C)$ の超限余極限（小対象論法による層化の像）として表示できる。 $\mathcal{E}$ は小余極限を持つため、$G$ の表示に対応する余極限図式を $\mathcal{E}$ 内で計算することで対象 $E_G \in \mathcal{E}$ が構築でき、$F(E_G) \cong G$ となる。

したがって、$\mathcal{E} \cong \mathrm{Sh}(\mathcal{C}, J)$ が成り立つ。